Question

已知曲線C上的動點P到點（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線m與曲線C只有一個公共點，有兩個公共點；沒有公共點？

Answer 1

（1）由拋物線的定義可知動點P的軌跡是拋物線：y²=4x．
（2）設直線m的方程為y-1=k（x+2），聯立

y-1=k(x+2) y2=4x

．
化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
①當k=0時，直線m∥x軸，直線與拋物線只有一個交點，滿足題意；
②當k≠0時，若直線與m相切時，直線m與拋物線有且只有一個公共點，此時△=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或k=

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2

．
當直線m與拋物線相交時，線m與拋物線有兩個公共點，此時△＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

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2

．（k≠0）．
當△＜0，直線m與拋物線沒有公共點，由△＜0化為2k²+k-1＞0，解得k＞

1

2

或k＜-1．
綜上可知：當k=0或k=-1或k=

1

2

時，直線與拋物線只有一個公共點；
當-1＜k＜

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且k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點；
當k＞

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或k＜-1時，直線m與拋物線沒有公共點．