Question

定義運算a⊕b=a²+2ab-b²，記函數f（x）=sinx⊕cosx
（Ⅰ）已知tanθ=

1

2

，且θ∈(0 ， 

π

2

)，求f（θ）的值；
（Ⅱ）在給定的直角坐標系中，用“五點法”作出函數f（x）在一個周期內的簡圖；
（Ⅲ）求函數f（x）的對稱中心、最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由新定義可得函數的解析式，代入化切后計算可得答案；（Ⅱ）由五點法，列表、描點，連線可得圖象；（Ⅲ）函數y=sinx的對稱中心為（kπ，0）（k∈Z），且當x=

π

2

+2kπ (k∈Z)時，y_max=1，把z=2x-

π

4

整體代入解之可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)-----（2分）
∴f(θ)=

sin2θ+2sinθcosθ-cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ+2tanθ-1

tan2θ+1

=

1

5

--------（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，運用“五點法”先列表后描點連線，

2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
2 sin(2x- π 4 )	0	2	0	- 2	0

作出函數f（x）在一個周期內的圖象如下，





（10分）
（Ⅲ）∵函數y=sinx的對稱中心為（kπ，0）（k∈Z），且當x=

π

2

+2kπ (k∈Z)時，y_max=1
令z=2x-

π

4

，由2x-

π

4

=kπ (k∈Z)，解得x=

π

8

+

kπ

2

 (k∈Z)
∴函數f（x）的對稱中心為(

π

8

+

kπ

2

 ， 0)  (k∈Z)-------（12分）
當2x-

π

4

=

π

2

+2kπ (k∈Z)，即x=

3π

8

+kπ(k∈Z)，f(x)max=

2

-------（14分）

點評：本題考查五點作圖，涉及同角三角函數的基本關系和正弦函數的對稱性，屬中檔題．