Question

設a＞0，函數f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為-1，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）由對數函數的定義得到函數的定義域為x大于0，求出f′（x），根據曲線在（2，f（2））處切線的斜率為-1，得到f'（2）=-1，代入導函數得到關于a的方程，求出a的解即可；
（2）令f′（x）=0求出x的值為1和a，然后分0＜a＜1，a=1和a＞1三個區間在定義域內利用x的范圍討論導函數的正負即可得到函數的增減區間，利用函數的增減性得到函數的極值即可．

解答：解：（1）由已知x＞0
f′(x)=x-(a+1)+

a

x

曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為-1，
所以f'（2）=-1即2-(a+1)+

a

2

=-1，解得a=4
（2）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

①當0＜a＜1時，
當x∈（0，a）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（a，1）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
此時x=a是f（x）的極大值點，x=1是f（x）的極小值點．
②當a=1時，
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，
當x=1時，f'（x）=0，
當∈（1，+∞）時，f'（x）＞0
所以函數f（x）在定義域內單調遞增，此時f（x）沒有極值點．
③當a＞1時，當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（a，1）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
此時x=1是f（x）的極大值點，x=a是f（x）的極小值點．
綜上，當0＜a＜1時，x=a是f（x）的極大值點，x=1是f（x）的極小值點；
當a=1時，f（x）沒有極值點；
當a＞1時，x=1是f（x）的極大值點，x=a是f（x）的極小值點

點評：此題是一道綜合題，要求學生會求曲線上過某點的切線方程的斜率，會利用導數研究函數的極值．以及會運用分類討論的數學思想解決實際問題．