Question

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
（Ⅰ）求CB、CD；
（Ⅱ）求cos∠CBD的值；
（III）求AE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△ABC是等腰直角三角形，且△ACD是等邊三角形，根據等腰及等邊三角形的性質得到CB=CD，在等腰直角三角形ABC中，設AC=BC=x，由斜邊AB=2，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而確定出CB與CD的長；
（Ⅱ）由三角形ABC為等腰直角三角形可得∠ACB的度數，再由三角形ABC為等邊三角形，得到∠ACD的度數，進而由∠ACB+∠ACD得到∠BCD的度數，又BC=DC，得到三角形BCD為等腰三角形，由頂角的度數求出底角∠CBD的度數，由15°=45°-30°，根據兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值求出cos15°的值，即可求出cos∠CBD的值；
（III）由三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠CBA為45°，再根據∠CBE為30°，利用∠EBA=∠CBA-∠CBE求出∠EAB的度數，同時根據∠AEB為三角形BCE的外角，利用外角性質得到∠AEB的度數，再由AB的長，利用正弦定理即可求出AE的長．

解答：解：（Ⅰ）依題意得：AC=AD=CD=AC=BC，
設AC=BC=x，又AB=2，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：x²+x²=2²，
解得：x=

2

，
則CB=CA=CD=

2

；…（2分）
（Ⅱ）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°+60°=150°，
又BC=DC，
∴∠CBD=（180°-150°）÷2=15°，…（4分）
又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

，
則cos∠CBD=cos15°=

6 + 2

4

；  …（8分）
（III）∵△ABC為等腰三角形，
∴∠CBA=45°，又∠CBE=15°，
∴∠EBA=∠CBA-∠CBE=45°-15°=30°，…（9分）
在△ABE中，AB=2，∠AEB=∠ACB+∠CBE=90°+15°=105°，
由正弦定理得：

AE

sin30°

=

2

sin105°

，…（11分）
則AE=

2sin30°

cos15°

=

2× 1 2

6 + 2 4

=

6

-

2

．  …（13分）

點評：此題考查了等腰直角三角形及等邊三角形的性質，正弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，三角形的外角性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．