Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，M為拋物線弧AB上的動點．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

Answer 1

分析：（1）先聯立直線方程和拋物線方程，得到x₁+x₂的值，再根據拋物線定義，得到焦點弦的弦長公式，
代入并解得p，從而求得拋物線的方程為y²=4x．
（2）設M(

y 2 0

2p

，y0)，根據直線AB的方程得到用y₀和p表示的點M到AB的距離d．又根據點M在直線AB的上方
解得y₀的范圍，即求出了d的最大值，再代入面積公式，可求得S_△ABM的最大值．

解答：解：（1）由條件知lAB：y=x-

p

2

，則

y=x- p 2 y2=2px

，
消去y得：x2-3px+

1

4

p2=0，
則x₁+x₂=3p，由拋物線定義得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y²=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和lAB：y=x-

p

2

，設M(

y 2 0

2p

，y0)，
則M到AB的距離為：d=

|- 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，
因點M在直線AB的上方，所以-

1

2p

y

2 0

+y0+

P

2

＞0
則d=

2

2

(-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)=

2

2

[-

1

2p

(y0-p)2+p]
由x2-3px+

1

4

p2=0知A(

3-2 2

2

p，(1-

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1-

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，則當y₀=p時，dmax=

2

2

p
則(S△ABM)max=

1

2

•4p•

2

2

p=

2

p2

點評：本題考查拋物線的定義，及焦點弦公式，關鍵是點到直線的距離公式的靈活運用和拋物線上點坐標的巧妙設法．