Question

設．
（1）若，求最大值；
（2）已知正數，滿足.求證：；
（3）已知，正數滿足.證明:．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求函數的定義域，利用分式的求導法則求，令，分別求函數的增區間與減區間，可求得函數的極大值，從而求得函數的最大值；
（2）構造函數，利用導數法證明在在上遞增，在上遞減.由于函數的極大值為，時，
由,得出，
從而證明結論成立. 
（3）由數學歸納法證明.用數學歸納法證明的一般步驟是(1)證明當時命題成立；(2)假設當且時命題成立，證明當時命題成立. 由(1)，(2)可知，命題對一切正整數都成立. 一般的與正整數有關的等式、不等式可考慮用數學歸納法證明.
試題解析：（1），
時，，當時，，
即在上遞增，在遞減.故時，
有.                   4分
（2）構造函數，
則
易證在在上遞增，在上遞減.
時，有.
,即，
即證.                           8分
（3）利用數學歸納法證明如下：
當時，命題顯然成立；
假設當時，命題成立，即當時，
.
則當，即當時，
，
又假設
，
即



=.
這說明當時，命題也成立.
綜上①②知，當，正數滿足.                   14分