Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，直線(xiàn)x-y+b=0是拋物線(xiàn)y²=4x的一條切線(xiàn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S(0，-

1

3

)的動(dòng)直線(xiàn)L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把拋物線(xiàn)和直線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據(jù)△=0求出b，再根據(jù)兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形得出a和b的關(guān)系式，求得a．
（2）分別求出L與x軸平行時(shí)和L與x軸垂直時(shí)的圓的方程，聯(lián)立可求得兩圓的切點(diǎn)，進(jìn)而推斷所求的點(diǎn)T如果存在只能是（0，1）．當(dāng)直線(xiàn)L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）；當(dāng)直線(xiàn)L不垂直于x軸設(shè)直線(xiàn)L的方程y=kx-

1

3

與橢圓方程聯(lián)立求得

TA

•

TB

=0證明出TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）．

解答：解：（1）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0
因直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角
形，∴a=

2

b=

2

故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1.
（2）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
當(dāng)L與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）
因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）
事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下．
當(dāng)直線(xiàn)L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）
若直線(xiàn)L不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
記點(diǎn)A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因?yàn)?table style="margin-right: 1px" cellspacing="-1" cellpadding="-1">

TA=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題．常需要把直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找到解決問(wèn)題的突破口．