Question

如圖：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點，
（1）求二面角α-l-β的大小
（2）求證：MN⊥AB
（3）求異面直線PA和MN所成角的大小．

Answer 1

解：（1）連接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°．
∴∠PDC=90°（三垂線定理）．
∠ADP為二面角α-l-β的平面角．
∴△PAD為等腰直角三角形．
∴二面角α-l-β為45°．
（2）設E為DC中點，連接NE，
則NE∥PD，ME∥AD．
由面面平行的判定定理得：
平面MEN∥平面APD．
AB∥CD
∵CD⊥平面APD
∴AB⊥平面APD
∴AB⊥平面MEN．
∴AB⊥MN．
（3）設F為DP中點．連接AG，GN
則FN=DC=AM．FN∥DC∥AM．
∴FNMA為平行四邊形
則異面直線PA與MN的夾角為∠FAP
∠FAP=∠PAD=45°（等腰直角三角形DAP上直角的一半）．
分析：（1）連接PD，結合已知中ABCD為矩形，PA⊥α，我們可由三垂線定理得∠ADP為二面角α-l-β的平面角，由PA⊥α，且PA=AD，可判斷△PAD為等腰直角三角形，進而得到二面角α-l-β的大小
（2）設E為DC中點，連接NE，易由平面MEN∥平面APD．AB∥CD，由線面垂直的第二判定定理，結合CD⊥平面APD，得到AB⊥平面MEN．進而AB⊥MN．
（3）設F為DP中點．連接AG，GN，可證得FNMA為平行四邊形，故異面直線PA與MN的夾角為∠FAP，結合△PAD為等腰直角三角形，易求出∠FAP的大小．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，其中（1）的關鍵是證得∠ADP為二面角α-l-β的平面角，（2）要注意空間中線面垂直，線線垂直，面面垂直之間的相互轉化，（3）的關鍵是證得∠FAP為異面直線PA與MN的夾角．