Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中點．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB₁上找一點M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁分別作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），E(1，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)，G(0，

1

2

，1)，
∴

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
∴cos＜

AG

，

BF

＞=

3 2

3 2 • 5 2

=

2 5

5

故異面直線AG與BF所成角的余弦值為

2 5

5

．
（2）∵

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
而

AG

=(-1，

1

2

，1)，∴

AG

=

EF

+

BF

，
故

AG

與平面BEF共面，
又因為AG不在平面BEF內，
∴AG∥平面BEF．
（3）設M（1，1，m），則

DM

=(1，1，m)
由

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，
∴-

1

2

+m=0⇒m=

1

2

，
所以M為棱BB₁的中點時，DM⊥平面BEF．