Question

已知圓C經過點P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率為k且經過原點的直線l與圓C交于M、N兩點．點G為弦MN的中點．
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）當

OC

•

OG

取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓的一般式方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，將P₁、P₂、P₃的坐標代入解出D=-2，E=-2且F=1，即可得到圓C的一般式方程，再化成標準形式即可；
（II）設直線l方程為y=kx，與圓C消去y得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系化簡算出點G（

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

），結合

OC

=(1，1)算出

OC

•

OG

=1+

2

k+ 1 k

，再用基本不等式求最值即可得到當k=1時，

OC

•

OG

取得最大值，此時直線l的方程為y=x．

解答：解：（Ⅰ）設圓C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
則

1+D+F=0 1+4+D+2E+F=0 4+1+2D+E+F=0

，解得

D=-2 E=-2 F=1

∴圓C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成標準形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）設直線l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由題意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，即x0=

(1+k)

1+k2

，y0=

k(1+k)

1+k2

∴點G(

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

)
又∵

OC

=(1，1)（9分）
∴

OC

•

OG

=

k+1

k2+1

+

k2+k

k2+1

=

k2+2k+1

k2+1

=1+

2k

k2+1

=1+

2

k+ 1 k

∵

2

k+ 1 k

≤

2

2 k• 1 k

=1，∴

OC

•

OG

=1+

2

k+ 1 k

≤2（13分）
因此，可得當k=

1

k

即k=1時，

OC

•

OG

取得最大值是2（13分）
此時直線l的方程為y=x（14分）

點評：本題給出經過三個點的圓，求圓的標準方程并研究向量數量積的最值問題，著重考查了向量數量積的坐標運算、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．