Question

記定義在[-1，1]上的函數f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值與最小值分別為M，m．又記h（p）=M-m．
（Ⅰ）當0≤p≤2時，求M、m（用p，q表示），并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）寫出h（p）的解析式（不必寫出求解過程）；
（Ⅲ）在所有形如題設的函數f（x）中，求出這樣的f（x），使得|f（x）|的最大值為最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據每件0≤p≤2?-1≤-

p

2

≤0，又f（x）圖象開口向上，得出最大值與最小值，從而求得h（p）并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）對字母p進行分類討論后寫出出h（p）的解析式即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（p）的解析式，結合M-m≥1及取得最值的條件得出，p=0，M=1+q，m=q．最后結合由M=-m得1+q=-q求得q，最后寫出所求函數式即可．

解答：解：（Ⅰ）0≤p≤2?-1≤-

p

2

≤0，又f（x）圖象開口向上，
∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-

p

2

)=q-

p2

4

∴h(p)=M-m=

1

4

(p+2)2≥1（4分）
（Ⅱ）h(p)=

-2p   (p＜-2) 1 4 (p-2)2，   (-2≤p＜0) 1 4 (p+2)2，   (0≤p≤2) 2p， ，      (p＞2)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=

-2p＞4   (p＜-2) 1 4 (p-2)2＞1，   (-2≤p＜0) 1 4 (p+2)2≥1，   (0≤p≤2) 2p＞4， ，      (p＞2)

，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，總有|f(x)|max≥

M-m

2

，當且僅當M=-m時取”=”；
又，

M-m

2

≥

1

2

，當且僅當p=0時取“=”，
∴當

M-m

2

=

1

2

時的f（x）符合條件．
此時，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-

1

2

即所求函數為：f（x）=x2-

1

2

．（13分）

點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、函數的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．