Question

已知函數f（x）=，g（x）=asin（）-2a+2（a＞0），給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，]；
②函數g（x）在[0，1]上是增函數；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是．
其中所有正確結論的序號是________．

Answer 1

①②④
分析：①由于f（x）=，當＜x≤1時，f（x）=2[（x+2）+]-8，利用雙鉤型函數h（z）=2（z+）-8在z∈（，3]上單調遞增，可求f（x）的值域為（，]；當x∈[0，]時，利用f（x）=-x+為減函數，可求f（x）的值域為[0，]，從而可判斷①的正誤；
對于②，可求g（x）=-acosx-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判斷y=-cosx在[0，]上單調遞增，而a＞0，從而可判斷函數g（x）在[0，1]上是增函數；
對于③，由g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acosx-2a+2≤2-a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），從而可判斷③錯誤；
對于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則0≤2-3a≤或0≤2-a≤，從而可求得a的范圍，可判斷其正誤．
解答：∵＜x≤1時，f（x）===2[（x+2）+]-8
而＜x+2≤3，令z=x+2，則z∈（，3]，
雙鉤型函數h（z）=2（z+）-8在z∈（，3]上單調遞增，
∴h（）=-8=，h（z）_max=h（3）=，
∴當x∈（，1）時，f（x）的值域為（，]；
當x∈[0，]時，f（x）=-x+為減函數，f（x）的值域為[0，]；
∴函數f（x）的值域為[0，]，故①正確；
對于②，g（x）=asin（）-2a+2=-acosx-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤x≤，
∵y=cosx在[0，]上單調遞減，
∴y=-cosx在[0，]上單調遞增，又a＞0，
∴g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函數，故②正確；
對于③，由g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）知，
當0≤x≤1時，0≤x≤，≤cosx≤1，又a＞0，
∴-a≤-acosx≤-，
∴2-3a≤-acosx-2a+2≤2-a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域為[0，]，顯然f（x）≠g（x），故③錯誤；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則0≤2-3a≤或0≤2-a≤，
解得≤a≤或≤a≤，由于＜，
∴[，]∪[，]=[，]．
故④正確．
故答案為：①②④．
點評：本題考查復合三角函數的單調性，考查函數的值域，考查三角函數的誘導公式及綜合應用，屬于難題．