Question

已知拋物線x²=4y及定點P（0，8），A、B是拋物線上的兩動點，且

AP

=λ

PB

(λ＞0)．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（Ⅰ）證明：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動，都有∠AQP=∠BQP？證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），對拋物線方程為y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x
（法一）可得過拋物線上A、B兩點的切線方程分別為y=

1

2

x1(x-x1)+y1y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，聯立方程可得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，由

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得

-x1=λx2 8-y1=λ(y2-8)

，結合拋物線的方程整理可求
（法二）由直線AB與x軸不垂直可設AB：y=kx+8．.由

y=kx+8 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32，利用導數知識可得過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，從而可寫出切線MA．MB的方程，聯立方程可求M
（II）考慮到AB∥x軸時，顯然要使∠AQP=∠BQP，則點Q必定在y軸上，且有K_AQ+K_BQ=0對一切k恒成立，代入整理可求

解答：解：（I）方法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
對拋物線方程為y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x
所以，過拋物線上A、B兩點的切線方程分別為：y=

1

2

x1(x-x1)+y1，y=

1

2

x2(x-x2)+y2，即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，解得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
又

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即

-x1=λx2 8-y1=λ(y2-8)

將式（1）兩邊平方并代入y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得y1=8λ，

y

2

=

8

λ

且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，點M的縱坐標為-8．
方法2：∵直線AB與x軸不垂直，設AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
.由

y=kx+8 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
拋物線方程為y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，∴MA：y-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)；MB：y-

1

4

x22=

1

2

x2(x-x2)
解得：yM=

- 1 4 x 2 1 x2+ 1 4 x1 x 2 2

x2-x1

=

1

4

x1x2=-8
即點M的縱坐標為定值-8
（II）考慮到AB∥x軸時，顯然要使∠AQP=∠BQP，則點Q必定在y軸上，
設點Q（0，t），此時kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
結合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
故kAQ+kBQ=

x12 4 -t

x1

+

x22 4 -t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0對一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故當t=-8，即Q（0，-8）時，使得無論AB怎樣運動，都有∠AQP=∠BQP

點評：本題考查拋物線的應用，及直線與拋物線的位置關系的應用，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用方程的思想進行求解．