Question

已知拋物線C：y=ax²（a為非零常數）的焦點為F，點P為拋物線C上一個動點，過點P且與拋物線C相切的直線記為L．
（1）求F的坐標；
（2）當點P在何處時，點F到直線L的距離最小？

Answer 1

分析：（1）把拋物線方程整理成標準方程，進而可得焦點的坐標．
（2）設P（x₀，y₀）則y₀=ax₀²，根據y′=2ax，判斷在P點處拋物線（二次函數）的切線的斜率k=2ax₀，進而可得切線方程和焦點F到切線L的距離，最后判斷當且僅當x₀=0時上式取“=”此時P的坐標是（0，0）．

解答：解：（1）拋物線方程為x²=

1

a

y，故焦點F的坐標為（0，

1

4a

）．
（2）設P（x₀，y₀）則y₀=ax₀²
∵y′=2ax，∴在P點處拋物線（二次函數）的切線的斜率k=2ax₀
∴切線L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即2ax₀x-y-ax₀²=0
∴焦點F到切線L的距離d=

|0- 1 4a - ax 2 0 |

(2ax0)2+(-1)2

≥

1

4|a|

當且僅當x₀=0時上式取“=”此時P的坐標是（0，0）
∴當P在（0，0）處時，焦點F到切線L的距離最小．

點評：本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．