Question

如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略
（Ⅲ）

解：（Ⅰ）設中點為，連結，，………… 1分

∵，所以.
又，所以.  ………………… 2分
∵，所以平面.
∵平面，所以.  ……… 4分
（Ⅱ）由已知，，
∴，.
又為正三角形，且，∴. …………………… 6分
∵，所以.
∴.
由（Ⅰ）知是二面角的平面角.
∴平面平面.       …………………………………………… 8分
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.
過作于，連結，則.
∴是二面角的平面角. ………………………………… 10分
在中，易求得.
∵，所以.  ………………………… 12分
∴.
即二面角的余弦值為.  …………………………………… 13分
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，兩兩垂直.     ……………………… 9分
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.

易知，，，.
∴，.  ……………………… 10分
設平面的法向量為，
則即
令，則，.
∴平面的一個法向量為.   ……………………… 11分
易知平面的一個法向量為.
∴. …………………………………… 12分
由圖可知，二面角為銳角.
∴二面角的余弦值為. …………………………………… 13分