Question

（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）若，使成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數的圖象在區間（1，+∞）內恒在直線下方，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1) (2) (3)∈[，]

顯然函數f(x)的定義域為………………1分
（Ⅰ）當時，，；……………2分
由，結合定義域解得…………3分
∴的單調遞增區間為，.……………………………4分
（Ⅱ）將化簡得，∴有
令，則，由解得.…………6分
當時，；當時，
故
∴，使成立等價于
即a的取值范圍為……………………………8分
（Ⅲ）令，則的定義域為（0，+∞）.
……………………………………………9分
在區間（1，+∞）上，函數的圖象恒在直線下方等價于
在區間（1，+∞）上恒成立.  
∵
①若，令，得極值點，，………………11分
當，即時，在（，+∞)上有，
此時在區間(，+∞)上是增函數，并且在該區間上有
∈(，+∞)，不合題意；………………………………………12分
當，即時，同理可知，在區間(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合題意；………………………………………13分
②若，則有，此時在區間(1，+∞)上恒有，
從而在區間(1，+∞)上是減函數；……………………………………14分
要使在此區間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是[，].
綜合①②可知，當∈[，]時，函數的圖象恒在直線下方. 16分