Question

已知兩點M和N分別在直線y＝mx和y＝－mx(m＞0)上運動，且|MN|＝2，動點P滿足：2＝＋ (O為坐標原點)，點P的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程，并討論曲線C的類型；

(2)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，若對于任意m＞1，都有∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

(1)由2＝＋，得P是MN的中點.

設P(x，y)，M(x₁，mx₁)，N(x₂，－mx₂)，依題意得：

，

消去x₁，x₂，整理得＋＝1.

當m＞1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓；

當0＜m＜1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；

當m＝1時，方程表示圓.

(2)由m＞1知方程表示焦點在y軸上的橢圓，直線l與曲線C恒有兩交點，直線斜率不存在時不符合題意.

可設直線l的方程為y＝kx＋1，

直線與橢圓交點A(x₃，y₃)，B(x₄，y₄).

⇒(m⁴＋k²)x²＋2kx＋1－m²＝0.

x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝.

y₃y₄＝(kx₃＋1)(kx₄＋1)＝＋＋1.

要使∠AOB為銳角，只需·＞0，

∴x₃x₄＋y₃y₄＝＞0.

即m⁴－(k²＋1)m²＋1＞0，可得m²＋＞k²＋1，

對于任意m＞1恒成立.

而m²＋＞2，∴k²＋1≤2，－1≤k≤1.

所以k的取值范圍是[－1,1].