Question

已知函數f(x2-1)=loga

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的表達式，寫出其定義域，并判斷奇偶性；
（2）求f^-1（x）的表達式，并指出其定義域；
（3）判斷f^-1（x）單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x2-1)=loga

x2

2-x2

（a＞0且a≠1），令t=x²-1，利用換元法，易求出f（x）的表達式，進而根據使函數解析式有意義的原則，構造關于x的不等式，解不等式即可求出函數的定義域，判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據函數奇偶性的定義，即可判斷出函數的奇偶性；
（2）利用指數式與對數式之間的互化關系，我們先將函數的解析式反表示后，再互換x，y的符號，即可得到f^-1（x）的表達式，進而根據使函數解析式有意義的原則，求出函數的定義域；
（3）根據指數函數的單調性，利用分析法，我們易判斷出當自變量x增大時，函數值的變化趨勢，進而判斷出f^-1（x）單調性．

解答：解：（1）令t=x²-1（t≥-1）
則x²=t+1
∵f(x2-1)=loga

x2

2-x2

∴f(t)=log2

t+1

2-(t+1)

=loga

1+t

1-t

∴f(x)=loga

1+x

1-x

要使函數的解析式有意義，自變量x須滿足：-1＜x＜1
故函數f（x）的定義域為（-1，1）
又∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-f（x）
故函數為奇函數
（2）∵f(x)=loga

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
∴f^-1（x）=

2x-1

2x+1

由于函數解析式恒有意義
故函數f^-1（x）的定義域為R
（3）∵f^-1（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

當x增大時，2^x+1隨之增大，

2

2x+1

隨之減小，1-

2

2x+1

隨之增大
故f^-1（x）單調遞增

點評：本題考查的知識點是對數函數圖象與性質的綜合應用，函數的解析式，函數的定義域，函數的奇偶性，函數的單調性判斷及其證明，反函數，是函數問題比較綜合的考查，有一定的難度，其中熟練掌握指數函數和對數函數的性質是解答本題的關鍵．