Question

下列函數中既是增函數又是奇函數的是

A．	B．
C．	D．

Answer 1

D

解析試題分析：四個選項中都給出了具體的函數解析式，其中選項D是分段函數，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函數為奇函數，在分析x＞0時函數的增減性，根據奇函數的對稱性進一步得到函數在整個定義域內的增減性；選項B舉一反例即可； C、A中的兩個函數，定義域均不關于原點對稱，都不是奇函數.根據題意，由于解：由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函數f（x）=x|x|為奇函數，又f（x）=x|x|= x² (x＞0),-x² (x＜0)
當x＞0時，f（x）=x²在（0，∞）上為增函數，根據奇函數圖象關于原點中心對稱，所以當x＜0時，f（x）=-x²在（-∞，0）上也為增函數，所以函數f（x）=x|x|在定義域內既是奇函數，又是增函數，故A正確．由于正弦函數是周期性函數，不滿足定義域內增函數，因此錯誤，對于C,A,定義域部關于原點對稱，故選D.
考點：函數的奇偶性及函數的單調性
點評：本題主要考查了函數的奇偶性及函數的單調性的判斷，尤其y=tanx的單調區間是解答中容易出現錯誤的地方，要注意掌握．