Question

已知圓，

（Ⅰ）若過定點()的直線與圓相切，求直線的方程；

（Ⅱ）若過定點()且傾斜角為的直線與圓相交于兩點，求線段的中點的坐標；

(Ⅲ) 問是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為,且以為直徑的圓經過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求過定點直線方程，要注意斜率不存在情況是否滿足題意，本題可分類討論，也可從設法上考慮斜率不存在，即設直線的方程為：，再利用圓心到直線距離等于半徑即可求出直線方程，（Ⅱ）求圓中弦中點，一可利用幾何條件，即圓心與弦中點連線與直線垂直，從而弦中點就為直線：與連線的交點，二可利用韋達定理，根據中點坐標公式求解，（Ⅲ）以為直徑的圓經過原點，這一條件如何用，是解題的關鍵 一是利用向量垂直，二是利用圓系方程

試題解析：（Ⅰ）根據題意，設直線的方程為：

聯立直線與圓的方程并整理得： 2分

所以

從而，直線的方程為： 4分

（Ⅱ）根據題意，設直線的方程為：

代入圓方程得：，顯然， 6分

設則

所以點的坐標為 8分

（Ⅲ）假設存在這樣的直線：

聯立圓的方程并整理得：

當 9分

設則

所以 10分

因為以為直徑的圓經過原點，所以

均滿足。

所以直線的方程為：。 13分

（Ⅲ）法二：可以設圓系方程

則圓心坐標，圓心在直線上，且該圓過原點。易得b的值。

考點：直線與圓相切，弦中點，圓方程