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在曲線y=-x3+2x-1的所有切線中，斜率為正整數的切線有
3
3
條．
分析：由導函數的幾何意義可知函數圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數值，求出切線斜率的取值范圍，從而求出斜率為正整數的可能性，得到結論．
解答：解：根據題意得f′（x）=-3x2+2≤2，
在曲線y=-x3+2x-1的所有切線中，斜率為正整數的有k=1，2，
∴斜率為2時，f′（x）=-3x2+2=2，有唯一解，故斜率為2只有一條切線，
斜率為1時，f′（x）=-3x2+2=1，有兩解，故斜率為1有兩條切線，
故斜率為正整數的切線的條數是3條，
故答案為：3．
點評：本題考查了導數的幾何意義，以及直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

點P在曲線y=x3-x+
2
3
，上移動，設點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（　　）
A、[0，
π
2
]
B、[0，
π
2
）∪[
3π
4
，π）
C、[
3π
4
，π）
D、（
π
2
，
3π
4
]

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3、在曲線y=x3+x-2的切線中，與直線4x-y=1平行的切線方程是（　�。�

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2
3
上移動，在點P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是（　�。�

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點P在曲線y=x3-x+
2
3
上移動，設在點P處的切線的傾斜角為為α，則α的取值范圍是
[0，
π
2
)∪[
3π
4
，π)
[0，
π
2
)∪[
3π
4
，π)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P在曲線y=x3-
3
x上移動，在點P處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍是（　　）

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