Question

已知數列的各項都是正數，且對任意都有，其中為數列的前項和.

（1）求、；

（2）求數列的通項公式；

（3）設，對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）分別令和代入題干中的等式求出和的值；（2）利用定義法進行求解，在原式中利用替換得到，將此等式與原式作差得到

，再次利用定義法得到數列為等差數列，最后利用等差數列的通項公式進行求解；（3）利用化簡得到，對進行分奇偶討論求出的取值范圍.

試題解析：（1）令，則，即，所以或或，

又因為數列的各項都是正數，所以，

令，則，即，解得或或，

又因為數列的各項都是正數，所以，

（2）， ①

， ②

由①②得，

化簡得到， ③

，④

由③④得，

化簡得到，即，

當時，，所以，

所以數列是一個以為首項，為公差的等差數列，

；

（3），

因為對任意的，都有恒成立，即有，

化簡得，

當為奇數時，恒成立，，即，

當為偶數時，恒成立，，即，

，故實數的取值范圍是.

考點：1.定義法求數列的通項公式；2.數列不等式恒成立；3.分類討論