Question

如果奇函數f(x)在區間[2,7]上是增函數，且最大值為10，最小值為6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函數還是減函數？求函數f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：f(x)在[－7，－2]上是增函數．證明如下：

任取x₁，x₂∈[－7，－2]，且x₁＜x₂，則2≤－x₂＜－x₁≤7.

因為f(x)在區間[2,7]上是增函數，

所以f(－x₂)＜f(－x₁)．

又因為f(x)是奇函數，所以f(－x₁)＝－f(x₁)，f(－x₂)＝－f(x₂)，

即－f(x₂)＜－f(x₁)，f(x₁)＜f(x₂)．

所以函數f(x)在[－7，－2]上是增函數．

于是其最大值為f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值為f(－7)＝－f(7)＝－10.

點評：奇函數的圖象關于原點對稱，它們在關于原點對稱的單調區間上具有相同的單調性；偶函數的圖象關于y軸對稱，它們在關于原點對稱的區間上的單調性恰好相反．