Question

已知f（x）=2x-x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）過P（0，2）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）在定義域上為減函數，且其導函數y=h′（x）存在零點，求實數a的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（0）=0，
∴P（0，2）不在曲線y=f（x）上，
設切點為Q（x₀，y₀），
∵f′（x）=2-x，
∴k=f′（x₀）=2-x₀，且y₀=f（x₀）=，
∴切線，即，
∵（0，2）在切線上，代入可得x₀=±2，
∴切線為y=2或y=4x+2；
（Ⅱ）h（x）在（0，+∞）遞減，
∴h′（x）=在x＞0時恒成立，
∵x＞0，
∴在x＞0恒成立，
x＞0時，2x-x²∈（-∞，1]，
∴，∴0＜lna≤1，①
又∵h′（x）=存在零點，即方程lna·x²-21na·x+1=0有正根，
∴Δ=4ln²a-4lna≥0，
∴lna≥1或lna＜0，②
由①②知lna=1，
∴a=e。