Question

已知點C(

1

4

，0)，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右準線l₁+x=2與x軸相交于點D，右焦點F到上頂點的距離為

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

？若存在，求出直線l；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a2

c

=2

b2+c2

=

2

，a²=b²+c²，從而可求
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，假設存在滿足條件的直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，y1+y2=-

-2k

2k2+1

，由(

CA

+

CB

)⊥

BA

可求k的值

解答：解（1）：由題意可得

a2

c

=2

b2+c2

=

2

，a²=b²+c²
解可得，a²=2，b²=1
所以橢圓方程

x2

2

+y2=1
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，
假設存在滿足條件的直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴y1+y2=-

-2k

2k2+1

∴

CA

+

CB

=(x1-

1

4

，y1)+(x2-

1

4

， y2)=(

4k2

2k2+1

-

1

2

，

-2k

2k2+1

 )，

AB

的方向向量（1，k）
∴

4k2

2k2+1

-

1

2

+

-2k

2k2+1

×k=0
∴k=±

2

2

，
所以存在直線l，且直線的方程為y=±

2

2

(x-1)

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓相交的位置關系的應用，這是直線與圓錐曲線中的常考的試題類型．