Question

（2012•江西模擬）已知

i

，

j

是x，y軸正方向的單位向量，設

a

=x

i

+(y-1)

j

，

b

=x

i

+(y+1)

j

，且滿足|

a

|+|

b

|=2

2

．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）設點F（0，1），點A、B、C、D在曲線C上，若

AF

與

FB

共線，

CF

與

FD

共線，且

AF

•

CF

=0，求四邊形ACBD的面積的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）條件|

a

|+|

b

|=2

2

可以看成是動點到兩定點的距離之和為2

2

，聯(lián)想橢圓的定義解決“點P（x，y）的軌跡C”；
（2）設出AB的方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可表示出四邊形ACBD的面積，再將四邊形ACBD的面積取到最值問題，要先建立關于某個自變量的函數，后再求此函數的最值即可．

解答：解：（1）∵|a|+|b|=2

2

，
∴

x2+(y-1)2

+

x2+(y+1)2

=2

2

由橢圓的定義可知，動點P（x，y）的軌跡方程x2+

y2

2

=1．
（2）直線AB，CD中至少有一條存在斜率，不妨設AB的斜率為k，
故AB的方程為y=kx+1，將此式子代入橢圓方程得（2+k²）x²+2kx-1=0，
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1=

-k- 2k2+2

2+k2

，x2=

-k+ 2k2+2

2+k2

，
從而|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

8(1+k2)2

(2+k2)2

，即|AB|=

2 2 (1+k2)

2+k2

①當k≠0時，CD的斜率為-

1

k

，同上可得|CD|=

2 2 (1+(- 1 k )2)

2+(- 1 k )2

，
故四邊形ABCD面積為：
S=

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

，令u=k2+

1

k2

≥2，得S=

4(2+u)

5+u

=2(1-

1

5+2u

)，
∴

16

9

≤S＜2．
②當k=0時，易得S=2．
故四邊形ABCD面積的最小值和最大值分別為

16

9

和2．

點評：（1）平面向量與解析幾何的結合通常涉及軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算，或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題．（2）直線l與點P的軌跡的交點問題，組成方程組解決．