Question

已知如圖（1），正三角形ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

=k，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．
（Ⅰ）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小；
（Ⅲ）若異面直線AB與DE所成角的余弦值為

2

4

，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由題意，有線段長成比例利用線面平行的判定定理即可得證；
（II）由題意利用二面角平面角的概念，在三角形中利用面積相等及解三角形求出二面角的大小；
（III）利用方程的思想，利用異面直線的所成角的大小，進而解出變量的大小．

解答：解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分別是AC、BC上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

=k，
∴AB∥EF．
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF

（Ⅱ）過D點作DG⊥AC于G，連接BG，
∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．
在ADC中，AD=a，DC=

3

a，AC=2a，
∴DG=

AD•DC

AC

=

3 a2

2a

=

3 a

2

．
在Rt△BDG中，tan∠BGD=

BD

DG

=

2 3

3

．
∴∠BGD=arctan

2 3

3

．
即二面角B-AC-D的大小為arctan

2 3

3

．

（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其補角）是異面直線AB與DE所成的角．
∵AB=

2

a，∴EF=

2

ak．
又DC=

3

a，CE=kCA=2ak，
∴DF=DE=

DC2+CE2-2DC•CE•cos∠ACD

=

3a2+4a2k2-2 3 a•2ak•cos30°

=

3a2+4a2k2-6a2k

=a

3+4k2-6k

．
∴cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

EF

2DE

=

2

4

．
∴2

2

ak=

2

•a

3+4k2-6k

．解得k=

1

2

．

點評：此題重點考查了利用線段成比例去進行判定線面平行，還考查了二面角的平面角的概念及利用方程的思想借助異面直線所成角的大小建立方程進而求解變量的值．