Question

已知x,y∈R.求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

Answer 1

證明（充分性）
若xy≥0,則x,y至少有一個為0或同號.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)²=(|x|+|y|)²,x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證
證明（充分性）
若xy≥0,則x,y至少有一個為0或同號.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)²=(|x|+|y|)²,x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證.