Question

如圖,在棱長為4的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心,點P在棱CC₁上,且CC₁=4CP.

(1)求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的大小(結果用反三角函數值表示);

(2)設O點在平面D₁AP上的射影是H,求證:D₁H⊥AP;

(3)求點P到平面ABD₁的距離.

Answer 1

解:如圖,(1)連結BP.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴AP與平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB.

∵CC₁=4CP,CC₁=4,

∴CP=1.

在Rt△PBC中,∠PCB為直角,BC=4,CP=1,故BP=.

在Rt△APB中,∠ABP為直角,tan∠APB=,

∴∠APB=arctan,

即直線AP與平面BCC₁B₁所成的角為arctan.

(2)連結A₁C₁,B₁D₁.

∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正主形,∴D₁O⊥A₁C₁.

又AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁,∴AA₁⊥D₁O.

∵AA₁∩A₁C₁=A₁,∴D₁O⊥平面A₁APC₁.

∵AP平面A₁APC₁,∴D₁O⊥AP.

∵平面D₁AP的斜線D₁O在這個平面內的射影是D₁H.∴D₁H⊥AP.

(3)連結BC₁,在平面BCC₁B₁中,過點P作PQ⊥BC₁于點Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,PQ平面BCC₁B₁,

∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁.

∴PQ就是點P到平面ABD₁的距離.

在Rt△C₁PQ中,∠C₁QP=90°,∠PC₁Q=45°,PC₁=3,

∴PQ=,即點P到平面ABD₁的距離為.