Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的方程為：，其焦點在軸上，離心率.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）由，，解得，
故橢圓的標準方程為.　　　　　　　 　……………………3分
（2）設,
則由，得，
即，
∵點M，N在橢圓上，∴ ……6分
設分別為直線的斜率，由題意知，
，∴，　　　　……………………8分
故
，
即（定值）　　　　　　　　　　　　……………………10分
（3）由（2）知點是橢圓上的點，
∵，
∴該橢圓的左右焦點滿足為定值，
因此存在兩個定點，使得為定值。　　　…………………14分

略