Question

（本小題滿分16分）已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當函數在區間上的最小值為時，求實數的值；
（3）當時，若函數與的圖像有三個不同的交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）； (2)  ；（3）  . 

要求函數在點處的切線方程，先求，即確定的點，在求3處的導數，即斜率；
求函數在區間上的最小值為時，一般先求函數在區間上的單調性，在確定在某處取得最小值；
將函數與的圖像有三個不同的交點，轉化為有三個不同的根，即有三個不同的根  設 與x軸有3個交點。
解：（1）由題知  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
                               ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
                                ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
曲線在點處的切線方程為.┈┈┈┈┈┈1分
(2)由題知                  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
令的或
①   時      即  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
② 當時        
   不符合            ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
③ 當時   當時    
當時     
即  不符合                      ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
綜上知：                          ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
（3）由題知有三個不同的根，即有三個不同的根  設  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的 或              ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
    當時 ；當時 ；
當時       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
  
 即        ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分