Question

 

如圖，已知是正三棱柱，D是AC中點，。

（I）證明

（II）求異面直線所成的角

（III）求以為棱，與為面的二面角的度數。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 證明：（Ⅰ）∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．

連結B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC ．

連結DE，在△AB₁C中， ∵AD=DC，∴DE∥AB₁，

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．               ……4分

（Ⅱ）設D₁是A₁C₁的中點，則DD₁⊥平面ABC．

所以，以DB為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸（如圖）建立空間直角坐標系．

設AB=2，則，，，，．

∴，，

∵，∴，

即，AB₁與BC₁所成的角為90°．                                       ………8分

（Ⅲ）∵BC的中點，∴，

∴可取平面CBC₁的法向量為．

設平面BC₁D的法向量為，

則    

∴可取．

∵，

∴面DBC₁與面CBC₁所成的二面角為45°．                             ……………12分