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已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點，設與軸交于點，不同的兩點、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍是.

解析試題分析：（1）利用直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長的圓相切，先求出的值，再結合橢圓的離心率求出的值，最終確定橢圓的方程；（2）先設點、，利用向量坐標運算從條件出發，確定與之間的關系，并利用基本不等式求出的取值范圍，并求出的表達式，利用二次函數的單調性求出的取值范圍.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程是；
（2）由，故的方程為，
易知，設、，
∴，
由，得，
，所以，
 ，當且僅當，即時等號成立．
又，
，所以當，即時，，
故的取值范圍是.
考點：1.橢圓的方程；2.平面向量的坐標運算；3.基本不等式

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，過點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為；為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點A和B滿足（其中0為原點），求k的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，F1，F2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2),,均在拋物線上.

（1）求該拋物線方程；
（2）若AB的中點坐標為，求直線AB方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓心坐標為的圓與軸及直線均相切，切點分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、．

（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作的平行線，求直線被圓截得的弦的長度；

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