Question

已知a∈R，函數m（x）=x²，n（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）=

m(x)，x≤0 n(x)，x＞0

，若函數f（x）的圖象上存在兩點A、B滿足OA⊥OB（O為坐標原點），且線段AB的中點在y軸上，求a的取值集合；
（Ⅱ）若函數g（x）=m（x）+n（x）存在兩個極值點x₁、x₂，求g（x₁）+g（x₂）的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，不妨設A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）
∴OA⊥OB，
∴-t²+at²ln（t+2）=0，
∴a=

1

ln(t+2)

，
∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），
∴a的取值集合為（0，

1

ln2

）；
（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x²+aln（x+2），
∴g′（x）=

2x2+4x+a

x+2

，
∵函數g（x）=m（x）+n（x）存在兩個極值點x₁、x₂，
∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在兩個不等的實根，
令p（x）=2x²+4x+a，
∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，
∴0＜a＜2，
∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=

a

2

，
∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]
=aln

a

2

-a+4
令q（x）=xln

x

2

-x+4，x∈（0，2），
∴q′（x）=ln

x

2

＜0，
∴q（x）在（0，2）上單調遞減，
∴2＜aln

a

2

-a+4＜4
∴g（x₁）+g（x₂）的取值范圍是（2，4）．