Question

某企業為了保護環境，發展低碳經濟，在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了一項把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量z（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y=
且每處理一二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲利，虧損數額國家將給予補償．
（I）當x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利？如果虧損，則國家每月補償數額的范圍是多少？
（Ⅱ）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

解：（I）當x∈[200，300]時，設該項目獲利為S，則S=200x-（x²-200x+80000）=-（x-400）²，
∴當x∈[200，300]時，S＜0且函數為增函數
∴該項目不會獲利，當x=300時，S取最大值-5000；當x=200時，S取最小值-20000
∴國家每月補償數額的范圍是[5000，20000]；
（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸的平均處理成本為=
①當x∈[120，144）時，=，∴x=120時，=取得最小值240；
②當x∈[144，500）時，=-200≥-200=200
當且僅當即x=400時，取得最小值200，
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．
分析：（I）確定當x∈[200，300]時，該項目獲利函數，再利用配方法，結合函數的單調性，即可求得結論；
（Ⅱ）確定二氧化碳的每噸的平均處理成本，分段求出函數的最值，確定其最小值，即可求得結論．
點評：本題考查函數解析式的確定，考查求二次函數的最值，確定利潤函數是關鍵，屬于中檔題．