Question

若直線mx+ny=4和圓O：x²+y²=4沒有交點，則過點（m，n）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的交點個數為

2

個．

Answer 1

分析：先根據題意可知圓心（0，0）到直線mx+ny-4=0的距離大于 2求得m和n的范圍，可推斷點P（m，n）是以原點為圓心，2為半徑的圓內的點，根據圓的方程和橢圓方程可知圓內切于橢圓，進而可知點P是橢圓內的點，進而判斷可得答案．

解答：解：由題意可得，

4

m2+n2

＞2
∴m²+n^2_＜4
所以點P（m，n）是在以原點為圓心，2為半徑的圓內的點．
∵橢圓的長半軸 3，短半軸為 2
∴圓m²+n²=4內切于橢圓
∴點P是橢圓內的點
∴過點P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點數為2．
故答案為：2

點評：本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關系，以及點到直線的距離公式，解決此類問題可采用數形結合的方法較為直觀．