Question

（本小題滿分12分）

已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（I）求a，b的值；

（II）如果當x>0，且時，，求k的取值范圍．

請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑．

Answer 1

解：

       （Ⅰ）

       由于直線的斜率為，且過點，故即

                           解得，．

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

       ．

考慮函數，則

       ．

       (i)設，由知，當時，．而，故

       當時，，可得；

當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0

從而當x>0，且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）設0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x² +1）+2x>0，故 (x）>0，而

       h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾．

（iii）設k1.此時（x）>0，而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0，與題設矛盾．

       綜合得，k的取值范圍為（-，0]

解：（2）由（1）知．
故要證： 只需證
為去分母，故分x>1與0<x<1兩種情況討論：

當x>1時，需證

即   即需證．       （1）

設，則
由x>1得，所以在（1，+）上為減函數．又因g（1）=0
所以 當x>1時 g（x）<0   即（1）式成立．

同理0<x<1時，需證      （2）
而由0<x<1得，所以在（0，1）上為增函數．又因g（1）=0
所以 當0<x<1時 g（x）<0   即（2）式成立．

綜上所證，知要證不等式成立．

點評：抓住基本思路，去分母化簡問題，不可死算．