Question

已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是2x-y+b=0，求a，b的值
（Ⅱ）若a=

1

2

，討論函數f（x）的單調性，并求極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的幾何意義，求得a的值，再利用切點（1，f（1）在直線2x-y+b=0上，可得b的值；
（Ⅱ）求導函數，分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調性及極值．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）定義域為（0，+∞），f′(x)=a(1-

1

x2

)-

2

x

．
又由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是2x-y+b=0，則f^′（1）=2a-2=2，解得a=2
∵f（1）=0，∴切點為（1，0）代入切線方程2x-y+b=0可得b=-2，
故a=2，b=-2．
（Ⅱ） 當a=

1

2

時，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f'（x）=

1

2

（1+

1

x2

）-

2

x

=

x2-4x+1

2x2

∴x∈（0，2-

3

）時，f'（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
x∈（2-

3

，2+

3

）時，f'（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；
x∈（2+

3

，+∞）時，f'（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
又f（2-

3

）=-

3

-2ln（2-

3

）=-

3

+2ln（2+

3

），
f（2+

3

）=

3

-2ln（2+

3

）．
故函數f（x）在區間（0，2-

3

），（2+

3

，+∞）上單調遞增，在區間（2-

3

，2+

3

上單調遞減；
x=2-

3

時，函數f（x）取得極大值-

3

+2ln（2+

3

），x=2+

3

時，函數f（x）取得極小值

3

-2ln（2+

3

）．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．