Question

（本小題滿分13分）

已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；

③圓心到直線l：x-2y=0的距離為，求該圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

圓的方程是，或

【解析】（法一）設圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，

則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．

由題意可知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°

圓P截x軸所得的弦長為，2|b|=，得r²=2b²，      ……3分

圓P被y軸所截得的弦長為2，由勾股定理得r²=a²+1，

得2b²- a²=1．                                      …………6分

 又因為P（a，b）到直線x -2y=0的距離為，得d=，

即有 ……9分

     綜前述得，解得，，于是r²= 2b²=2

     所求圓的方程是，或   …………13分

（法二）設圓的方程為，

令x =0，得，

        所以，得

        再令y=0，可得，

所以，得，

即，從而有2b²- a²=1．

又因為P（a，b）到直線x -2y=0的距離為，得d=，

即有

     綜前述得，解得，，于是r²= 2b²=2

     所求圓的方程是，或