Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試問(wèn)：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量使得的值相等，若存在，請(qǐng)求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）至多只有一個(gè)解，故不存在

【解析】

試題分析：解：（I）由已知得，  2分

則當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，  5分

故函數(shù)的極小值為  6分

（II）若存在，設(shè)，則對(duì)于某一實(shí)數(shù)方程

在上有三個(gè)不等的實(shí)根，   8分

設(shè)，

則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．   10分

方法一：有兩個(gè)不同的解，設(shè)，

則，

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)，即， 12分

又，則故在上是增函數(shù)，  13分

則至多只有一個(gè)解，故不存在． 14分

方法二：關(guān)于方程的解，

當(dāng)時(shí)，由方法一知，則此方程無(wú)解,  11分

當(dāng)時(shí)，可以證明是增函數(shù)，則此方程至多只有一個(gè)解，

故不存在． 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，以及方程根的問(wèn)題的運(yùn)用，屬于中檔題。