Question

（本題滿分14分） 如圖(1)在等腰中，D，E，F分別是AB，AC和BC邊的中點，，現將沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如圖(2))
        
（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在線段BC是否存在一點P，但APDE？證明你的結論.

Answer 1

解：（Ⅲ）在線段BC上不存在點P，使AP⊥DE，………………………  9分
證明如下：在圖2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得
∠AED＝120°，于是點G在DE的延長線上，從而Q在DC的延長線
上，過Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE  
∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延長線上。………………… 12分
【法二】（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，

設CD＝a，則AC＝BC＝2a , AD＝DB＝則A（0，0，），B（，0，0）， C（0，.………………………  5分
取平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為，
則 得，…………6分
，……………………………………… 7分
所以二面角E—DF—C的余弦值為；…………………………… 8分
【解】（Ⅲ）設，
又， ………………………………………  9分
 ………………………11分
把，可知點P在BC的延長線上
所以在線段BC上不存在點P使AP⊥DE. ……………………………………………… 12分

略