Question

本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

 (1)證明：見解析；(2) SN與平面CMN所成角為45°.

【解析】如果已知向量的坐標，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個向量的坐標，進一步求出兩個向量的模及他們的數量積，然后代入公式cosθ得到。

（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明 ·＝0即可，根據向量數量積的運算，我們不難證明；

（2）要求SN與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出SN和方向向量與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關系，易求出SN與平面CMN所成角的大小．

解：設PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.

(1)證明：＝(1，－1，)，＝，因為·＝－＋＋0＝0，

所以CM⊥SN.

(2) ＝，設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則，

∴，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因為|cos〈a，〉|＝，

所以SN與平面CMN所成角為45°.