Question

已知函數f（x）=2m-

1

|x|

，m∈R．
（1）求證：函數y=f（x）在（-∞，0）上是單調遞減函數
（2）若f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，證明f′（x）=-x^-2＜0，即可得到函數y=f（x）在（-∞，0）上是單調遞減函數；
（2）f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，等價于2m-x^-1-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，分離參數可得2m＜5x+

1

x

，求出右邊函數的單調性，確定值域，即可求得m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵x∈（-∞，0），∴f（x）=2m+x^-1，∴f′（x）=-x^-2＜0
∴函數y=f（x）在（-∞，0）上是單調遞減函數
（2）解：∵x∈（1，+∞），∴f（x）=2m-x^-1，
∵f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴2m-x^-1-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴2m＜5x+

1

x

令F（x）=5x+

1

x

，則F′（x）=5-

1

x2

∵x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）=5x+

1

x

在（1，+∞）上為增函數
∴F（x）＞F（1）=6
∴2m≤6
∴m≤3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的值域，屬于中檔題．