Question

如圖，一粒子在原點，第一秒內從原點運動到點（0，1），然后按照圖示的方向由（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…來回運動，每秒移動一個單位，那么粒子運動到點（3，0）時用時m秒，經過2007秒時這個粒子所處的位置為點P．則m、P分別為（　　）

A．15；（37，44）

B．15；（17，44）

C．15；（44，17）

D．17；（44，27）

Answer 1

分析：分析粒子在第一象限的運動規律得到數列{a_n}通項的遞推關系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，對運動規律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動是解題的關鍵．

解答：解：由題意知當粒子運動到點（3，0）時，移動的距離為1×2+2×2+3×3=15，所以此時用時m=15秒．
設粒子運動到A₁，A₂，…，A_n時所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
將a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故運動了1980秒時它到點A₄₄（44，44）；
又由運動規律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動．
故達到A₄₄（44，44）時向左運動27秒到達點（17，44），即運動了2007秒．
所求點應為（17，44）．
故選B．

點評：本題主要考查數列的應用，綜合性較強，難度較大．通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力．