Question

已知：如圖，兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為

2π

3

，點(diǎn)C是以O(shè)為圓心的劣弧AB的中點(diǎn)．求：
（1）|

OA

+

OB

|的值；
（2）

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件先求出

OA

•

OB

的值，再求出|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

的值；
（2）根據(jù)條件求出

OA

•

OC

，

OB

•

OC

的值，再由減法運(yùn)算得

AB

•

AC

=（

OB

-

OA

）•（

OC

-

OA

），再展開進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）∵

OA

和

OB

的長度為1，夾角為

2π

3

，
∴

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos

2π

3

=-

1

2

，
∴|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+2 OA • OB + OB 2

=1，
（2）∵點(diǎn)C是以O(shè)為圓心的劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠AOC=∠BOC=

π

3

，∴

OA

•

OC

=

OB

•

OC

=

1

2

，
∴

AB

•

AC

=（

OB

-

OA

）•（

OC

-

OA

）
=

OB

•

OC

-

OB

•

OA

-

OA

•

OC

+

OA

•

OA

=

1

2

-（-

1

2

）-

1

2

+1=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積和減法運(yùn)算，主要利用定義和性質(zhì)進(jìn)行求解．