Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點為F，點P在y軸上，直線PF交橢圓于M、N，

PM

=λ1

MF

，

PN

=λ2

NF

，則實數λ₁+λ₂=（　　）

• A．-

  2b2

  a2

• B．-

  b2

  a2

• C．-

  2a2

  b2

• D．-

  a2

  b2

Answer 1

分析：設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-c）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．然后利用向量關系及根與系數的關系，可求得λ₁+λ₂的值．

解答：解：設M，N，P點的坐標分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，y₀），
又不妨設F點的坐標為（c，0）．
顯然直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x-c）．
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．
∴x1+x2=

2a2ck2

b2+a2k2

，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

．
又∵

PM

=λ1

MF

，

PN

=λ2

NF

，
將各點坐標代入得 λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

λ1+λ2=

x1

2-x 1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-

2a2

b2

．
故選C．

點評：本題以向量為載體，考查直線與橢圓的位置關系，是橢圓性質的綜合應用題，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用．