Question

已知定義在R上的偶函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數，若f（1）＜f(lg

1

x

)，則x的取值范圍為

(0，

1

10

)∪(10，+∞)

．

Answer 1

分析：分兩種情況討論：當lg

1

x

＞0時，結合f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數，直接由f（1）＜f（lg

1

x

）得1＜lg

1

x

；當lg

1

x

＜0時，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，由f（1）＜f（lg

1

x

）得到f（1）＜f（-lg

1

x

），所以1＜-lg

1

x

．分別解所得的不等式，可得實數x的取值范圍．

解答：解：①當lg

1

x

＞0時，因為f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數
所以f（1）＜f（lg

1

x

）等價于1＜lg

1

x

，解之得0＜x＜

1

10

；
②當lg

1

x

＜0時，-lg

1

x

＞0，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，
可得f（1）＜f（lg

1

x

）等價于f（1）＜f（-lg

1

x

），
再由函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數，得到1＜-lg

1

x

，即lg

1

x

＜-1，
解之得x＞10．
綜上所述，得x的取值范圍是(0，

1

10

)∪(10，+∞)．
故答案為：(0，

1

10

)∪(10，+∞)．

點評：本題在已知抽象函數的單調性和奇偶性的前提下，求解關于x的不等式，著重考查了函數的奇偶性與單調性等知識點，屬于基礎題．