Question

已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)＞2x的解集為(－1,3)．
(1)若函數g(x)＝xf(x)在區間內單調遞減，求a的取值范圍；
(2)當a＝－1時，證明方程f(x)＝2x³－1僅有一個實數根；
(3)當x∈[0,1]時，試討論|f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1|≤3成立的充要條件．

Answer 1

（1）(－∞，－1]（2）見解析（3）－5≤a＜0

(1)∵f(x)－2x＞0的解集為(－1,3)，
∴可設f(x)－2x＝a(x＋1)(x－3)，且a＜0，
因而f(x)＝a(x＋1)(x－3)＋2x＝ax²＋2(1－a)x－3a                         ①
g(x)＝xf(x)＝ax³＋2(1－a)x²－3ax，
∵g(x)在區間內單調遞減，
∴g′(x)＝3ax²＋4(1－a)x－3a在上的函數值非正，
由于a＜0，對稱軸x＝＞0，故只需g′a(1－a)－3a≤0，注意到a＜0，∴a²＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．
故所求a的取值范圍是(－∞，－1]．
(2)a＝－1時，方程f(x)＝2x³－1僅有一個實數根，即證方程2x³＋x²－4x－4＝0僅有一個實數根．令h(x)＝2x³＋x²－4x－4，由h′(x)＝6x²＋2x－4＝0，得x₁＝－1，x₂＝，易知h(x)在(－∞，－1)，上遞增，在上遞減，h(x)的極大值h(－1)＝－1＜0，故函數h(x)的圖象與x軸僅有一個交點，∴a＝－1時，方程f(x)＝2x³－1僅有一個實數根，得證．
(3)設r(x)＝f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1＝ax²＋x＋1，r(0)＝1，對稱軸為x＝－，
由題意，得或 
解出－5≤a＜0，
故使|f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1|≤3成立的充要條件是－5≤a＜0