Question

在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點. 經過這三個交點的圓記為.
(I)求實數的取值范圍；
(II)求圓的一般方程；
(III)圓是否經過某個定點(其坐標與無關)？若存在，請求出點點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(I)令得拋物線與軸交點是；令，由題意，
且，解得，且.
(II)設所求圓的一般方程為，
令得，，這與是同一個方程，故，.
令得，，此方程有一個根為，代入得出，
所以圓的一般方程為 .
(III)圓過定點和.
證明如下：
法1，直接將點的坐標代入驗證；
法2，圓的方程改寫為，于是有
，解得或，故過定點和.

略