Question

（本題滿分14分）

若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足為常數(shù)，則稱該數(shù)列為數(shù)列．

（1）判斷是否為數(shù)列？并說明理由；

（2）若首項(xiàng)為且公差不為零的等差數(shù)列為數(shù)列，試求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若首項(xiàng)為，公差不為零且各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列為數(shù)列，正整數(shù)滿足，求的最小值

 

Answer 1

【答案】

 (1)它為數(shù)列 ；(2) ,其中.

（3）最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號

【解析】

試題分析：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n和S_2n，求出等于為常數(shù)，所以得到該數(shù)列為S數(shù)列；

（2）設(shè)此數(shù)列的公差為d，根據(jù)首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n和S_2n，因?yàn)榇藬?shù)列為S數(shù)列，得到 等于常數(shù)，設(shè)比值等于k，去分母化簡后得到關(guān)于n的一個多項(xiàng)式等于0，令其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)等于0即可求出k和d值，根據(jù)首項(xiàng)和公差d寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．

（3）根據(jù)已知條件首項(xiàng)為a₁的各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}為S數(shù)列，設(shè)n+h=2008，利用基本不等式求出的最小值．

解：(1)由,得，所以它為數(shù)列

(2)假設(shè)存在等差數(shù)列,公差為,則

(常數(shù))

化簡得

① 

由于①對任意正整數(shù)均成立,則

解得:  ，故存在符合條件的等差數(shù)列.

其通項(xiàng)公式為: ,其中.

（3）

其最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號

考點(diǎn)：本試題主要考查了等差數(shù)列和數(shù)列求和的問題，是一道綜合題。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求值，掌握題中的新定義并會利用新定義化簡求值。